Section: New Results

Algèbre linéaire max-plus, convexité tropicale et jeux à somme nulle/Max-plus linear algebra, tropical convity and zero-sum games

Polyèdres tropicaux/Tropical polyhedra

Participants : Xavier Allamigeon, Stéphane Gaubert, Eric Goubault [CEA] , Ricardo Katz [Conicet, Argentine] .

On étudie les analogues max-plus ou tropicaux des ensembles convexes. Ceux-ci sont utiles en particulier pour représenter de manière effective les ensembles d'états accessibles de systèmes à événements discrets [9] , ils sont aussi apparus récemment en géométrie tropicale, dans toute une série de travaux à la suite de Sturmfels et Develin  [97] . Les polyèdres max-plus peuvent aussi être vus comme des limites de déformations de polyèdres classiques, sur lesquels ils donnent un éclairage de nature combinatoire. Toutes ces motivations ont inspiré la recherche d'analogues des résultats fondamentaux d'analyse convexe classique: séparation, projection, points extrémaux, à la suite en particulier de [8] .

Dans un travail de X. Allamigeon, S. Gaubert, et E. Goubault  [62] ,  [63] , on a mis en évidence un critère combinatoire pour la caractérisation des sommets des polyèdres tropicalement convexes. Celui-ci s'exprime à l'aide d'hypergraphes orientés, et de leurs composantes fortement connexes. Ce critère possède la propriété d'être vérifiable en un temps presque linéaire en la taille de l'hypergraphe.

On en déduit un analogue tropical de la méthode de la double description  [63] (méthode très utilisée sur les polyèdres classiques, et dûe à Motzkin et al.  [148] ). Cet algorithme permet de calculer les sommets d'un polyèdre défini de façon externe (intersection de demi-espaces ou d'hyperplans tropicaux). Grâce au critère combinatoire précédent, l'algorithme améliore de plusieurs ordres de grandeur les techniques connues jusqu'alors. Ceci est confirmé par de nombreuses expérimentations. Ce travail est motivé par des applications à l'analyse statique  [61] et aux systèmes à événements discrets  [102] , dans lesquelles la manipulation de tels polyèdres est le goulot d'étranglement.

Il est connu qu'un polyèdre tropical peut être représenté comme l'enveloppe convexe d'un ensemble minimal de points et rayons, donnés par ses sommets et ses rayons extrêmes  [112] . Dans un travail réalisé par X. Allamigeon et R. Katz  [64] , et effectué en partie lors de visites de R. Katz à Inria, on étudie la question duale de la caractérisation des représentations minimales par demi-espaces. On montre qu'un polyèdre tropical possède essentiellement une unique représentation minimale par demi-espaces, lorsque leurs apex appartiennent au polyèdre. On montre que les apex de ces demi-espaces non-redondants correspondent à certains sommets du complexe tropical introduit par Develin et Sturmfels  [97] . On introduit également un critère combinatoire pour l'élimination de demi-espaces redondants à l'aide d'hypergraphes orientés.

Dans un travail de X. Allamigeon et R. Katz  [65] , nous étudions la tropicalisation des représentations par demi-espaces des polyèdres convexes sur le corps des séries de Puiseux. Nous démontrons ainsi une conjecture de Develin et Yu  [98] . Celle-ci assure qu'étant donné un polytope tropical pur, il existe un polytope relevé sur les séries de Puiseux, dont les demi-espaces associés aux faces se “tropicalisent” en une représentation par demi-espaces du polytope tropical initial.

Des applications de ces travaux à l'algorithmique, concernant en particulier les jeux répétés, sont discutées dans la Section  7.4.1 .

English version

We study the max-plus or tropical analogues of convex sets. These have been used in particular to represent effectively the accessible sets of certain discrete event systems [9] . They also appeared in tropical geometry, following the work of Sturmfels and Develin  [97] . Max-plus polyhedra can be thought of as limits of deformations of classical polyhedra, on which they give a combinatorial insight. These motivations have inspired the investigation of analogues of basic results of classical convex analysis: separation, projection, representation by extreme points, following [8] .

In a work of X. Allamigeon, S. Gaubert, and E. Goubault  [63] , we introduce a combinatorial criterion for the characterization of the vertices of tropically convex polyhedra. It is expressed in terms of directed hypergraphs and their strongly connected components. This criterion can be verified in almost linear time in the size of the hypergraph.

This allows to develop a tropical analogue of the double description method  [63] (this method is widely used for classical convex polyhedra, and is due to Motzkin et al.  [148] ). This algorithm is able to determine all the vertices of a polyhedron defined externally (intersection of tropical half-spaces of hyperplanes). Thanks to the combinatorial criterion mentioned above, the algorithm improves the existing methods by several orders of magnitude. This is confirmed by several experiments. This is motivated by applications to static analysis  [61] and discrete event systems  [102] , in which computing such polyhedra turns out to be the bottleneck.

It is well-known that a tropical polyhedron can be represented as the convex hull of a minimal set of points and rays, provided by its vertices and extreme rays  [112] . In a work of X. Allamigeon and R. Katz  [64] , partly done during visits of R. Katz at Inria, the dual problem of characterizing the minimal representations by half-spaces is studied. We show that a tropical polyhedron admits essentially a unique minimal external representation by half-spaces, provided that their apices belong to the polyhedron. We prove that the apices of these half-spaces correspond to certain vertices of the tropical complex introduced by Develin and Sturmfels  [97] . We also establish a combinatorial criterion allowing to eliminate redundant half-spaces using directed hypergraphs.

In a work of X. Allamigeon and R. Katz [35] , we study the tropicalization of the representation by half-spaces of convex polyhedra over the field of Puiseux series. In particular, we prove a conjecture of Develin and Yu  [98] . It states that, given a pure tropical polytope, there exists a lifting polytope over Puiseux series, such that the facet-defining half-spaces are “tropicalized” into a representation by half-spaces of the initial polytope.

Some algorithmic applications of this work concerning in particular mean payoff games, will be discussed in Section  7.4.1 .

Points fixes d'applications monotones homogènes et jeux à somme nulle/Fixed points of order preserving homogeneous maps and zero-sum games

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert, Antoine Hochart.

Pour les jeux répétés à somme nulle, un problème de base est de savoir si le paiement moyen par unité de temps est indépendant de l'état initial. Ici, on définit le paiement moyen directement au moyen de l'opérateur de Shapley (ou de la programmation dynamique) du jeu, lequel préserve l'ordre et commute avec l'addition d'une constante. Dans le cas particulier des jeux à zero joueur, i.e. de chaînes de Markov avec fonctionnelle additive, la solution du problème ci-dessus est fournie par le théorème ergodique. Dans [11] , [21] , on généralise ce résultat au cas des jeux répétés à espace d'états fini. Cette généralisation est basée sur l'étude de la sous-classe d'opérateurs de Shapley sans-paiement (le paiement a lieu seulement le dernier jour), lesquels commutent avec la multiplication par une constante positive. L'intérêt de cette sous-classe est qu'elle inclue la fonction de récession d'un opérateur de Shapley, lorsqu'elle existe. Nous montrons que le paiement moyen est indépendant de l'état initial pour toutes les perturbations des paiements instantannés dépendantes de l'état si, et seulement si, une condition d'ergodicité est vérifiée. Cette dernière est caractérisée par l'unicité, à constante additive près, du point fixe de la fonction de récession de l'opérateur de Shapley, ou, dans le cas particulier des jeux stochastiques à nombre fini d'actions et information parfaite, par une condition d'accessibilité dans un hypergraphe orienté, entre deux sous-ensembles conjugués d'états. On montre aussi que l'ergodicité d'un jeu ne dépend que de la probabilité de transition et qu'elle peut être vérifiée en temps polynomial lorsque le nombre d'états est fixé. Dans [26] , on généralise la condition d'accessibilité dans un hypergraphe orienté au cas de jeux avec espaces d'actions arbitraires.

English version

A basic question for zero-sum repeated games consists in determining whether the mean payoff per time unit is independent of the initial state. Here the mean payoff is defined in terms of the Shapley operator (dynamic programming operator) of the game, which is an order preserving map commuting with the addition of a constant. In the special case of “zero-player” games, i.e., of Markov chains equipped with additive functionals, the answer to the above question is provided by the mean ergodic theorem. In [11] , [21] , we generalize this result to repeated games with a finite state space. This generalization is based on the study of the subclass of payment-free Shapley operators (the payment only occurs when the game stops), which are commuting with the multiplication by a positive constant, and which include the recession function of any Shapley operator, when it exists. We show that the mean payoff is independent of the initial state for all state-dependent perturbations of the rewards if and only if an ergodicity condition is satisfied. The latter is characterized by the uniqueness modulo additive constants of the fixed point of the recession function of the Shapley operator, or, in the special case of stochastic games with finite action spaces and perfect information, by a reachability condition involving conjugate subsets of states in directed hypergraphs. We show that the ergodicity condition for games only depends on the support of the transition probability and that it can be checked in polynomial time when the number of states is fixed. In [26] , we generalize the above reachability condition to the case of games with arbitrary actions spaces,

Puissances exterieures tropicales de matrices/Tropical compound matrix identities

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert, Adi Niv.

English version

In  [43] , [45] , we proved some identities on matrices using a weak and strong transfer principles. In the present work, we prove identities on compound matrices in extended tropical semirings. Such identities include analogues to properties of conjugate matrices, powers of matrices and $adj\left(A\right)det{\left(A\right)}^{-1}$, all of which have implications on the eigenvalues of the corresponding matrices. A tropical Sylvester-Franke identity is provided as well. Even though part of these identities hold over any commutative ring, they cannot be adjusted to semirings with symmetry using the existing weak and strong transfer principles. By reducing these identities to definite matrices, we introduce a transfer principle for formal series, allowing us to infer tropical identities from classical ones. We provide the proofs both via this wider principle and by means of graph theory arguments.

Matrices totalement positives tropicales/Tropical totally positive matrices

Participants : Stéphane Gaubert, Adi Niv.

English version

We investigate totally positive and totally non-negative matrices over the tropical symmetrized semiring. We show these matrices are diagonally dominant, and are determined by their $2\times 2$ minors. We provide the role of the classical double echelon forms in the tropical setting, and find a so called “staircase" form to finite matrices. We establish the connection to the classical sets of totally positive and totally non-negative matrices through the valuation on the field of Puiseux series. In particular, we find the connection to elementary matrix factorization, positivity of eigenvalues and planar networks.

Algèbre supertropicale/Supertropical algebra

Participant : Adi Niv.

English version

Several properties of matrices over the tropical algebra are studied using the supertropical algebra introduced in  [126] .

The only invertible matrices in tropical algebra are diagonal matrices, permutation matrices and their products. However, the pseudo-inverse $A^{\nabla }$, defined as $\frac{1}{det\left(A\right)}adj\left(A\right)$, with $det\left(A\right)$ being the tropical permanent, inherits some classical algebraic properties and has some surprising new ones. In [19] , defining $B$ and $B^{\text{'}}$ to be tropically similar if $B^{\text{'}}=A^{\nabla }BA$, we examine the characteristic (max-)polynomials of tropically similar matrices as well as those of pseudo-inverses. Other miscellaneous results include a new proof of the identity for $det\left(AB\right)$ and a connection to stabilization of the powers of definite matrices.

In a joint work with Louis Rowen (Bar Ilan Univ.) [37] , we study the pathology that causes tropical eigenspaces of distinct supertropical eigenvalues of a non-singular matrix $A$, to be dependent. We show that in lower dimensions the eigenvectors of distinct eigenvalues are independent, as desired. The index set that differentiates between subsequent essential monomials of the characteristic polynomial, yields an eigenvalue $\lambda$, and corresponds to the columns of the eigenmatrix $A+\lambda I$ from which the eigenvectors are taken. We ascertain the cause for failure in higher dimensions, and prove that independence of the eigenvectors is recovered in case the “difference criterion” holds, defined in terms of disjoint differences between index sets of subsequent coefficients. We conclude by considering the eigenvectors of the matrix $A^{\nabla }:=\frac{1}{detA)}adj\left(A\right)$ and the connection of the independence question to generalized eigenvectors.

In a joint work with Zur Izhakian (University of Aberdeen) and Louis Rowen (Bar Ilan Univ.) [36] , extending earlier work on supertropical adjoints and applying symmetrization, we provide a symmetrized supertropical version ${SL}_n$ of the special linear group, which we partition into submonoids, based on “quasi-identity” matrices, and we display maximal sub-semigroups of ${SL}_n$. We also study the monoid generated by ${SL}_n$. Several illustrative examples are given of unexpected behavior. We describe the action of elementary matrices on ${SL}_n$, which enables one to connect different matrices in ${SL}_n$, but in a weaker sense than the classical situation.